Álgebra Ejemplos

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - 1$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$(1 + \cot^{2} (x)) \tan^{2} (x) - 1$

Paso 3

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 3.1

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$(1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) \tan^{2} (x) - 1$

Paso 3.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$(1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}) {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Paso 3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 4.1.2

Multiplica $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 4.1.3

Combinar.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 4.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1$

Paso 4.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común de ${\sin (x)}^{2}$ .

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Paso 4.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Paso 4.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1 - 1$

Paso 4.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Paso 4.3

Suma $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ y $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ como $\tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$ es una identidad