Álgebra Ejemplos

$y = x^{2} \sqrt{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d y} [x^{2 + \frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Paso 4.1.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{5}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{5}{2}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.8

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} x'$

Paso 4.9

Combina $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $x'$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Combinar.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} x')}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} x')}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{5} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} x'}{5} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.3.1.1.5.1

Divide $x^{\frac{3}{2}} x'$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} x' = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3.1.1.5.2

Reordena los factores en $x^{\frac{3}{2}} x'$ .

$x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5} \cdot 1$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$

Paso 6.4

Divide cada término en $x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $x' x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{5}$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x' x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.4.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{\frac{2}{5}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x' = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.4.3.2

Combinar.

$x' = \frac{2 \cdot 1}{5 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 6.4.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x' = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{5 x^{\frac{3}{2}}}$