Álgebra Ejemplos

$2 y^{2} = \frac{5 x - 3}{5 x + 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (2 y^{2}) = \frac{d}{d y} (\frac{5 x - 3}{5 x + 3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 y)$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 5 x - 3$ y $g (y) = 5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) \frac{d}{d y} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x' + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $5 x'$ y $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 x') - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Mueve $5$ a la izquierda de $5 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 3) x' - (5 x - 3) \frac{d}{d y} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 3$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + \frac{d}{d y} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x' + 0)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $5 x'$ y $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - (5 x - 3) (5 x')}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 (5 x) + 5 \cdot 3) x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' + (- 5 (5 x) - 5 \cdot - 3) x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.5.1

Combina los términos opuestos en $5 (5 x) x' + 5 \cdot 3 x' - 5 (5 x) x' - 5 \cdot - 3 x'$ .

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Paso 3.11.5.1.1

Resta $5 (5 x) x'$ de $5 (5 x) x'$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' + 0 - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.5.1.2

Suma $5 \cdot 3 x'$ y $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.5.2.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 x' - 5 \cdot - 3 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.5.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{15 x' + 15 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 3.11.5.3

Suma $15 x'$ y $15 x'$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y = \frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} = 4 y$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por ${(5 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de ${(5 x + 3)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x'}{{(5 x + 3)}^{2}} {(5 x + 3)}^{2} = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Paso 5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ por $30$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $30 x' = 4 y {(5 x + 3)}^{2}$ por $30$ .

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x'}{30} = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{4 y {(5 x + 3)}^{2}}{30}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $30$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $2$ de $4 y {(5 x + 3)}^{2}$ .

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{30}$

Paso 5.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 (15)}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{2 (2 y {(5 x + 3)}^{2})}{2 \cdot 15}$

Paso 5.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 y {(5 x + 3)}^{2}}{15}$