Álgebra Ejemplos

$y = \ln (\frac{x^{4}}{x + 3})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x^{4}}{x + 3}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x^{4}}{x + 3}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{4}}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Paso 3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x^{4}}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{x + 3}{x^{4}}$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x + 3}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{(x + 3) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 \cdot (x + 3) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.6

Combina fracciones.

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Paso 3.5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 3}{x^{4}} \cdot \frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.5.6.3

Multiplica $\frac{x + 3}{x^{4}}$ por $\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{x^{4} {(x + 3)}^{2}}$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x + 3$ de $x^{4} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (4 (x + 3) x^{3} - x^{4})}{(x + 3) (x^{4} (x + 3))}$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x + 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot 3) x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} (x + 3)}$

Paso 3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.7.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.4.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.4.1.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 3.7.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.4.1.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.4.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - x^{4}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.4.2

Resta $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.5

Combina los términos.

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Paso 3.7.5.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.5.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 3.7.5.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{4 + 1} + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.5.1.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Paso 3.7.6

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{4} + 12 x^{3}$ .

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Paso 3.7.6.1

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 12 x^{3}}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Paso 3.7.6.2

Factoriza $3 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Paso 3.7.6.3

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (4)$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{5} + 3 x^{4}}$

Paso 3.7.7

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} + 3 x^{4}$ .

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Paso 3.7.7.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + 3 x^{4}}$

Paso 3.7.7.2

Factoriza $x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} x + x^{4} \cdot 3}$

Paso 3.7.7.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ .

$\frac{3 x^{3} (x + 4)}{x^{4} (x + 3)}$

Paso 3.7.8

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.7.8.1

Factoriza $x^{3}$ de $3 x^{3} (x + 4)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{4} (x + 3)}$

Paso 3.7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.8.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} (x + 3)$ .

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Paso 3.7.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (3 (x + 4))}{x^{3} (x (x + 3))}$

Paso 3.7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{x (x + 3)}$