Álgebra Ejemplos

$(10, - 5)$ , $(5, 0)$

Paso 1

La ecuación general de una parábola con vértice $(h, k)$ es $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . En este caso, tenemos $(10, - 5)$ como vértice $(h, k)$ y $(5, 0)$ es un punto $(x, y)$ en la parábola. Para obtener $a$ , sustituye los dos puntos en $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$0 = a {(5 - (10))}^{2} - 5$

Paso 2

Usa $0 = a {(5 - (10))}^{2} - 5$ para resolver $a$ , $a = \frac{1}{5}$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a {(5 - (10))}^{2} - 5 = 0$ .

$a {(5 - (10))}^{2} - 5 = 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$a {(5 - 10)}^{2} - 5 = 0$

Paso 2.2.2

Resta $10$ de $5$ .

$a {(- 5)}^{2} - 5 = 0$

Paso 2.2.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$a \cdot 25 - 5 = 0$

Paso 2.2.4

Mueve $25$ a la izquierda de $a$ .

$25 a - 5 = 0$

Paso 2.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$25 a = 5$

Paso 2.4

Divide cada término en $25 a = 5$ por $25$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $25 a = 5$ por $25$ .

$\frac{25 a}{25} = \frac{5}{25}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 a}{25} = \frac{5}{25}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{5}{25}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$a = \frac{5 (1)}{25}$

Paso 2.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.1.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$a = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Paso 2.4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$a = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Paso 2.4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$a = \frac{1}{5}$

Paso 3

Mediante $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , la ecuación general de la parábola con el vértice $(10, - 5)$ y $a = \frac{1}{5}$ es $y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$ .

$y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Paso 4

Resuelve $y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$ en $y$ .

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Paso 4.1

Elimina los paréntesis.

$y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por ${(x - (10))}^{2}$ .

$y = \frac{1}{5} \cdot {(x - (10))}^{2} - 5$

Paso 4.3

Elimina los paréntesis.

$y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Paso 4.4

Simplifica $(\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$y = \frac{1}{5} {(x - 10)}^{2} - 5$

Paso 4.4.1.2

Reescribe ${(x - 10)}^{2}$ como $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = \frac{1}{5} ((x - 10) (x - 10)) - 5$

Paso 4.4.1.3

Expande $(x - 10) (x - 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{5} (x (x - 10) - 10 (x - 10)) - 5$

Paso 4.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{5} (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)) - 5$

Paso 4.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{5} (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10) - 5$

Paso 4.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10) - 5$

Paso 4.4.1.4.1.2

Mueve $- 10$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10) - 5$

Paso 4.4.1.4.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 10$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} - 10 x - 10 x + 100) - 5$

Paso 4.4.1.4.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{2} - 20 x + 100) - 5$

Paso 4.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{5} (- 20 x) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Paso 4.4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.4.1.6.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{1}{5} (- 20 x) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Paso 4.4.1.6.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.4.1.6.2.1

Factoriza $5$ de $- 20 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{1}{5} (5 (- 4 x)) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Paso 4.4.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{1}{5} (5 (- 4 x)) + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Paso 4.4.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + \frac{1}{5} \cdot 100 - 5$

Paso 4.4.1.6.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.4.1.6.3.1

Factoriza $5$ de $100$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + \frac{1}{5} \cdot (5 (20)) - 5$

Paso 4.4.1.6.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 20) - 5$

Paso 4.4.1.6.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + 20 - 5$

Paso 4.4.2

Resta $5$ de $20$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - 4 x + 15$

Paso 5

La ecuación ordinaria y la forma del vértice son las siguientes.

Ecuación ordinaria: $y = \frac{1}{5} x^{2} - 4 x + 15$

Forma de vértice: $y = (\frac{1}{5}) {(x - (10))}^{2} - 5$

Paso 6

Simplifica la ecuación ordinaria.

Ecuación ordinaria: $y = \frac{1}{5} x^{2} - 4 x + 15$

Forma de vértice: $y = \frac{1}{5} {(x - 10)}^{2} - 5$

Paso 7