Álgebra Ejemplos

$e^{y} \sin (x) = x + x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (e^{y} \sin (x)) = \frac{d}{d y} (x + x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d y} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$e^{y} (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$e^{y} (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]) + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) x' + \sin (x) e^{y}$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x' + x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x' + x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + x \cdot 1 + y x'$

Paso 3.3.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$x' + x + y x'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$y x' + x + x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $e^{y} \cos (x) x' + e^{y} \sin (x)$ .

$x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) = y x' + x + x'$

Paso 5.2

Como $x'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y x' + x + x' = x' e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x)$

Paso 5.3

Resta $x' e^{y} \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' + x + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x)$

Paso 5.4

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.5

Factoriza $x'$ de $y x' + x' - x' e^{y} \cos (x)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $x'$ de $y x'$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.5.2

Eleva $x'$ a la potencia de $1$ .

$x' y + x' - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.5.3

Factoriza $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' y + x' \cdot 1 - x' e^{y} \cos (x) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.5.4

Factoriza $x'$ de $- x' e^{y} \cos (x)$ .

$x' (y) + x' \cdot 1 + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.5.5

Factoriza $x'$ de $x' y + x' \cdot 1$ .

$x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.5.6

Factoriza $x'$ de $x' (y + 1) + x' (- 1 e^{y} \cos (x))$ .

$x' (y + 1 - 1 e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$

Paso 5.7

Divide cada término en $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ por $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $x' (y + 1 - e^{y} \cos (x)) = e^{y} \sin (x) - x$ por $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $y + 1 - e^{y} \cos (x)$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (y + 1 - e^{y} \cos (x))}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Paso 5.7.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} + \frac{- x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x)}{y + 1 - e^{y} \cos (x)} - \frac{x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Paso 5.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{e^{y} \sin (x) - x}{y + 1 - e^{y} \cos (x)}$