Álgebra Ejemplos

${(1 + 2 i)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(2 i)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(2 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(2 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(2 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(2 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{4}$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1^{1 + 4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$1^{5} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica $1^{5} \cdot {(2 i)}^{0}$ .

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

$1 + 4 \cdot (2 i) + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 8 i + 6 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.9

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.10

Aplica la regla del producto a $2 i$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (2^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.12

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 \cdot - 1) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.13

Multiplica $6 (4 \cdot - 1)$ .

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Paso 4.1.13.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$1 + 8 i + 6 \cdot - 4 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.13.2

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.14

Evalúa el exponente.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.15

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.16

Aplica la regla del producto a $2 i$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (2^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.17

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.18

Factoriza $i^{2}$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.19

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.20

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.21

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (- 8 i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.22

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.23

Multiplica $1$ por ${(1)}^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.23.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{0}$ .

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Paso 4.1.23.1.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.23.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1 + 0} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.23.2

Suma $1$ y $0$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.24

Simplifica $1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + {(2 i)}^{4}$

Paso 4.1.25

Aplica la regla del producto a $2 i$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 2^{4} i^{4}$

Paso 4.1.26

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 i^{4}$

Paso 4.1.27

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 4.1.27.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Paso 4.1.27.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Paso 4.1.27.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 \cdot 1$

Paso 4.1.28

Multiplica $16$ por $1$ .

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16$

Paso 4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1

Resta $24$ de $1$ .

$- 23 + 8 i - 32 i + 16$

Paso 4.2.2

Suma $- 23$ y $16$ .

$- 7 + 8 i - 32 i$

Paso 4.2.3

Resta $32 i$ de $8 i$ .

$- 7 - 24 i$