Álgebra Ejemplos

$H = 33 (10 \sqrt{v} - v + 10.45)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{v'}$ como ${v'}^{\frac{1}{2}}$ .

$H = 33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d H} (H) = \frac{d}{d H} (33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d H} [H^{n}]$ es $n H^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Como $33$ es constante con respecto a $H$ , la derivada de $33 (10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45)$ con respecto a $H$ es $33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$ .

$33 \frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $10 {v'}^{\frac{1}{2}} - v' + 10.45$ con respecto a $H$ es $\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45]$ .

$33 (\frac{d}{d H} [10 {v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.1.3

Como $10$ es constante con respecto a $H$ , la derivada de $10 {v'}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $H$ es $10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}]$ .

$33 (10 \frac{d}{d H} [{v'}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d H} [f (g (H))]$ es $f' (g (H)) g' (H)$ donde $f (H) = H^{\frac{1}{2}}$ y $g (H) = v'$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v'$ .

$33 (10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v'$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$33 (10 (\frac{1}{2} {v'}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$33 (10 (\frac{{v'}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.9

Mueve ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$33 (10 (\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v']) + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}}$ y $10$ .

$33 (\frac{10}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.11

Factoriza $2$ de $10$ .

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.12.1

Factoriza $2$ de $2 {v'}^{\frac{1}{2}}$ .

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.12.2

Cancela el factor común.

$33 (\frac{2 \cdot 5}{2 {v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.12.3

Reescribe la expresión.

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d H} [v']$ como $v''$ .

$33 (\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}} v'' + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.14

Combina $\frac{5}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ y $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d H} [- v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $H$ , la derivada de $- v'$ con respecto a $H$ es $- \frac{d}{d H} [v']$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d H} [v'] + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.16

Reescribe $\frac{d}{d H} [v']$ como $v''$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + \frac{d}{d H} [10.45])$

Paso 4.17

Como $10.45$ es constante con respecto a $H$ , la derivada de $10.45$ con respecto a $H$ es $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'' + 0)$

Paso 4.18

Suma $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v''$ y $0$ .

$33 (\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - v'')$

Paso 4.19

Simplifica.

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Paso 4.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$33 \frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Paso 4.19.2

Combina los términos.

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Paso 4.19.2.1

Combina $33$ y $\frac{5 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{33 (5 v'')}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Paso 4.19.2.2

Multiplica $5$ por $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} + 33 (- v'')$

Paso 4.19.2.3

Multiplica $- 1$ por $33$ .

$\frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{165 v''}{{v'}^{\frac{1}{2}}} - 33 v''$

Paso 6

Resuelve $v'$

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Mueve ${v'}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$1 = 165 v' {v'}^{- \frac{1}{2}} - 33 v'$

Paso 6.1.2

Multiplica $v'$ por ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.1

Mueve ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} v') - 33 v'$

Paso 6.1.2.2

Multiplica ${v'}^{- \frac{1}{2}}$ por $v'$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Eleva $v'$ a la potencia de $1$ .

$1 = 165 ({v'}^{- \frac{1}{2}} {v'}^{1}) - 33 v'$

Paso 6.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + 1} - 33 v'$

Paso 6.1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$1 = 165 {v'}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 33 v'$

Paso 6.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 = 165 {v'}^{\frac{- 1 + 2}{2}} - 33 v'$

Paso 6.1.2.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$1 = 165 {v'}^{\frac{1}{2}} - 33 v'$

Paso 6.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$v' \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$

Paso 7

Reemplaza $v'$ con $\frac{d v}{d H}$ .

$v' = \frac{d v}{d H} \approx 3.68202613 E - 5, 24.93935711$