Álgebra Ejemplos

$y \sin (2 x) = x \cos (2 y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (x \cos (2 y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (y \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (2 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y) \cdot 1$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $\cos (2 y)$ por $1$ .

$x (- 2 \sin (2 y) y') + \cos (2 y)$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$- 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y \cos (2 x) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + \cos (2 y)$

Paso 5.2

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 y (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y)$

Paso 5.3

Resta $2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) y' = - 2 x \sin (2 y) y' + 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.4

Suma $2 x \sin (2 y) y'$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.1

Simplifica $\sin (2 x) y' + 2 x \sin (2 y) y'$ .

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Paso 5.5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x \sin (2 y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.5.1.1.2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 2 x (2 \sin (y) \cos (y)) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.5.1.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y' = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.5.1.2

Reordena los factores en $2 \sin (x) \cos (x) y' + 4 x \sin (y) \cos (y) y'$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y \cdot 1 - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 y (- 2 \sin^{2} (x))$

Paso 5.6.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y - 2 \cdot - 2 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.6.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1.1

Simplifica $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Paso 5.7.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.7.1.1.1.1

Agrega paréntesis.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.1.1.1.2

Reordena $2 y'$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.1.1.1.3

Reordena $\sin (x) \cos (x)$ y $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.1.1.1.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.1.1.2

Reordena los factores en $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.2.1

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.3

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.4.1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5

Resuelve la ecuación en $y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.1.1

Simplifica $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.1.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.1.1.1.1

Agrega paréntesis.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.1.1.1.2

Reordena $2 y'$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.1.1.1.3

Reordena $\sin (x) \cos (x)$ y $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.1.1.1.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.1.1.2

Reordena los factores en $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.2.1

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.3

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.4.1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5

Resuelve la ecuación en $y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.1.1

Simplifica $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.1.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.1.1.1.1

Agrega paréntesis.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.1.1.1.2

Reordena $2 y'$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.1.1.1.3

Reordena $\sin (x) \cos (x)$ y $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.1.1.1.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.1.1.2

Reordena los factores en $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.2.1

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.3

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.4.1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.7.5.5.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.1.1

Simplifica $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.1.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.1.1.1.1

Agrega paréntesis.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.1.1.1.2

Reordena $2 y'$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.1.1.1.3

Reordena $\sin (x) \cos (x)$ y $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.1.1.1.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.1.1.2

Reordena los factores en $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.2.1

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.3

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.4.1.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$y' (2 \sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5

Resuelve la ecuación en $y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1

Simplifica $2 y' \sin (x) \cos (x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1.1.1

Agrega paréntesis.

$2 y' (\sin (x) \cos (x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1.1.2

Reordena $2 y'$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) (2 y') + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1.1.3

Reordena $\sin (x) \cos (x)$ y $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cos (x)) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1.1.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.1.1.2

Reordena los factores en $\sin (2 x) y' + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = 1 - 2 \sin^{2} (y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.5.5.5.5.2.1

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' \sin (2 x) + 4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

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Paso 5.7.5.5.5.5.3.1

Factoriza $y'$ de $y' \sin (2 x)$ .

$y' (\sin (2 x)) + 4 x y' \sin (y) \cos (y) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.3.2

Factoriza $y'$ de $4 x y' \sin (y) \cos (y)$ .

$y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (\sin (2 x)) + y' (4 x \sin (y) \cos (y))$ .

$y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$

Paso 5.7.5.5.5.5.4

Divide cada término en $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ por $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 5.7.5.5.5.5.4.1

Divide cada término en $y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)) = \cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)$ por $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y))}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Paso 5.7.5.5.5.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.5.5.5.5.4.2.1

Cancela el factor común de $\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)$ .

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Paso 5.7.5.5.5.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.7.5.5.5.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{- 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Paso 5.7.5.5.5.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.5.5.5.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\cos (2 y)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} - \frac{2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Paso 5.7.5.5.5.5.4.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.7.5.5.5.5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)} + \frac{4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Paso 5.7.5.5.5.5.4.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (2 y) - 2 y + 4 y \sin^{2} (x)}{\sin (2 x) + 4 x \sin (y) \cos (y)}$