Álgebra Ejemplos

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} = 1 - 2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\cos (x) - \sin (x))}^{2}$ como $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 2.2

Expande $(\cos (x) - \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Paso 2.3.1.3.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$

Paso 2.3.1.3.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Paso 2.3.1.3.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Paso 2.3.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 2.3.3

Resta $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 2.4

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.5

Reorganiza los términos.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.6

Aplica la identidad pitagórica.

$1 - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 3

Reescribe $1 - 2 \cos (x) \sin (x)$ como $1 - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$1 - 2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 4

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

${(\cos (x) - \sin (x))}^{2} = 1 - 2 \sin (x) \cos (x)$ es una identidad