Álgebra Ejemplos

$\tan (- 105 °)$

Paso 1

Primero, divide el ángulo en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas. En este caso, $- 105 °$ se puede dividir en $45 - 150$ .

$\tan (45 - 150)$

Paso 2

Usa la fórmula de diferencia para la tangente para simplificar la expresión. La fórmula establece que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4.3

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

Paso 5.2

Multiplica $\tan (150)$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

Paso 5.3

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

Paso 5.4

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 5.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Paso 9.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 9.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Paso 9.6

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 10.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Paso 10.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Paso 10.4

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Paso 10.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Paso 10.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $3 \sqrt{3} + 3$ y $6$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

Paso 10.5.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

Paso 10.5.3

Factoriza $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

Paso 10.5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

Paso 10.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

Paso 10.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Paso 11

Simplifica los términos.

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Paso 11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Paso 11.2

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.3

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.4

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $2$ .

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Paso 11.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 11.4.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Paso 11.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Paso 11.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.4.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Paso 11.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 11.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Paso 11.4.4.4

Divide $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$