Álgebra Ejemplos

$y = \cos^{2} (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\cos^{2} (x))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = \cos (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$2 \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - 2 \cos (x) \sin (x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ por $- 2 \cos (x) \sin (x)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ por $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) x'}{- 2 \cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) x'}{- 2 \cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x) \sin (x) x'}{\cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) \sin (x) x'}{\cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (x) x'}{\sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) x'}{\sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{- 2 \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.2.3.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$x' = \frac{1}{- 2 \sin (x)} \sec (x)$

Paso 5.2.3.3

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Paso 5.2.3.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$x' = \frac{1}{- 2} \csc (x) \sec (x)$

Paso 5.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{1}{2} \csc (x) \sec (x)$

Paso 5.2.3.5.2

Agrega paréntesis.

$x' = - \frac{1}{2} (\csc (x) \sec (x))$

Paso 5.2.3.5.3

Agrega paréntesis.

$x' = - (\frac{1}{2} (\csc (x) \sec (x)))$

Paso 5.2.3.6

Combina con $c s c (2 x)$ .

$x' = - \csc (2 x)$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \csc (2 x)$