Álgebra Ejemplos

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t) = \csc (t)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cot (t)}{\frac{1}{\cos (t)}} + \sin (t)$

Paso 2.2

Reescribe $\cot (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (t)}{\sin (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}} + \sin (t)$

Paso 2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cos (t) + \sin (t)$

Paso 2.4

Escribe $\cos (t)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1} + \sin (t)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide $\cos (t)$ por $1$ .

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)} \cos (t) + \sin (t)$

Paso 2.5.2

Combina $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ y $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 2.6.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 2.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 2.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 - \sin^{2} (t)}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \sin (t)$

Paso 4.2

Para escribir $\sin (t)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}{\sin (t)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t)}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\sin (t)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{1}{\sin (t)}$ como $\csc (t)$ .

$\csc (t)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cot (t)}{\sec (t)} + \sin (t) = \csc (t)$ es una identidad