Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{9} e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$ .

$f' (x) = x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{8} e^{x}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x}) + 9 (e^{x} (8 x^{7}))$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $8$ por $9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 x^{8} e^{x} + 72 (e^{x} (x^{7}))$

Paso 2.4.2.2

Suma $e^{x} (9 x^{8})$ y $9 x^{8} e^{x}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Paso 2.4.2.2.2

Suma $9 x^{8} e^{x}$ y $9 x^{8} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$e^{x} x^{9} + 18 e^{x} x^{8} + 72 e^{x} x^{7}$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{9} + 18 e^{x} x^{8} + 72 e^{x} x^{7}$ .

$f'' (x) = x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$