Álgebra Ejemplos

$\ln (x + 2 y) = x^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x + 2 y)) = \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 2 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2 y$ .

$\frac{1}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Paso 2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$ .

$(1 + 2 y') \frac{1}{x + 2 y}$

Paso 2.4.2

Multiplica $1 + 2 y'$ por $\frac{1}{x + 2 y}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} = 4 x^{3}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $x + 2 y$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y)$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $x + 2 y$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 + 2 y' = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Paso 5.2.1.1.2

Reordena $1$ y $2 y'$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $4 x^{3} (x + 2 y)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' + 1 = 4 x^{3} x + 4 x^{3} (2 y)$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 y' + 1 = 4 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Paso 5.2.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 5.2.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 y' + 1 = 4 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Paso 5.2.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y' + 1 = 4 x^{1 + 3} + 4 x^{3} (2 y)$

Paso 5.2.2.1.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} (2 y)$

Paso 5.2.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y$

Paso 5.2.2.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 8 x^{3} y$

Paso 5.2.2.1.5

Reordena $4 x^{4}$ y $8 x^{3} y$ .

$2 y' + 1 = 8 x^{3} y + 4 x^{4}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $8 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 (1)} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 \cdot 1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4 x^{3} y}{1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.1.2.4

Divide $4 x^{3} y$ por $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{4}$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.2.2.4

Divide $2 x^{4}$ por $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$