Álgebra Ejemplos

$\sec (x)$

Paso 1

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Paso 2.3.1.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 2.4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 2.5

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)$

Paso 2.6

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Paso 2.9

Reordena los términos.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \tan^{2} (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

$\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.4

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.5

Multiplica $\tan^{2} (x)$ por $\tan (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.1

Mueve $\tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $\tan (x)$ por $\tan^{2} (x)$ .

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Paso 3.2.5.2.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.6

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.2.8

Suma $1$ y $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 3.3.3

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)$

Paso 3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)$

Paso 3.3.5

Suma $1$ y $2$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $2 \tan (x) \sec^{3} (x)$ .

$\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Paso 3.4.2

Suma $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ y $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ .

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$