Álgebra Ejemplos

${(x^{2} + 1)}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(x^{2})}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica $1$ por ${(1)}^{0}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Mueve ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.1.2

Multiplica ${(1)}^{0}$ por $1$ .

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Paso 4.1.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1^{0 + 1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.2

Simplifica $1^{1} \cdot {(x^{2})}^{4}$ .

${(x^{2})}^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{4}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{8} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{6} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.5

Evalúa el exponente.

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot 1 + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 \cdot x^{4} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.9

Multiplica $6$ por $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.10

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{1}$ .

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Paso 4.10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.12

Multiplica $4$ por $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Paso 4.13

Multiplica $1$ por ${(1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.13.1

Mueve ${(1)}^{4}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(x^{2})}^{0}$

Paso 4.13.2

Multiplica ${(1)}^{4}$ por $1$ .

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Paso 4.13.2.1

Eleva $1$ a la potencia de $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Paso 4.13.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{4 + 1} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Paso 4.13.3

Suma $4$ y $1$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$

Paso 4.14

Simplifica $1^{5} \cdot {(x^{2})}^{0}$ .

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1^{5}$

Paso 4.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{8} + 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} + 1$