Álgebra Ejemplos

$y = - \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2}$

Paso 1

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$y = x^{2}$

Paso 2

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot ((x + 1) (x + 1))$

Paso 2.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 2.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.5.2.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.5.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 1 x - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - 1 x - \frac{1}{2}$

Paso 2.6

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Paso 3

Supón que $y = x^{2}$ es $f (x) = x^{2}$ y $y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2}$ es $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Paso 4

La transformación que se describe es de $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$

Paso 5

Obtén la forma del vértice de $g (x) = - \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.1

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - \frac{1}{2}$

Paso 5.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 5.1.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Paso 5.1.3.2.3

Divide $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{1}$

Paso 5.1.3.2.4

Divide $1$ por $1$ .

$d = 1$

Paso 5.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 5.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 5.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 5.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 5.1.4.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = - \frac{1}{2} - \frac{1}{- 2}$

Paso 5.1.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2}$

Paso 5.1.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.1.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 5.1.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.1.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 1 + 1}{2}$

Paso 5.1.4.2.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$e = \frac{0}{2}$

Paso 5.1.4.2.4

Divide $0$ por $2$ .

$e = 0$

Paso 5.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} + 0$

Paso 5.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} + 0$

Paso 6

El cambio horizontal depende del valor de $h$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x + h)$ : La gráfica se desplaza hacia la izquierda $h$ unidades.

$g (x) = f (x - h)$ : La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.

Desplazamiento horizontal: unidades $1$ a la izquierda

Paso 7

El desplazamiento vertical depende del valor de $k$ . Este se describe de la siguiente manera:

$g (x) = f (x) + k$ : La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

En este caso, $k = 0$ , lo que significa que la gráfica no se desplaza hacia arriba o hacia abajo

Desplazamiento vertical: ninguno

Paso 8

La gráfica se refleja en el eje x cuando $g (x) = - f (x)$ .

Reflejo en el eje x: se refleja

Paso 9

La gráfica se refleja en el eje y cuando $g (x) = f (- x)$ .

Reflejo en el eje y: ninguno

Paso 10

Comprimir y estirar depende del valor de $a$ .

Cuando $a$ es mayor que $1$ : expandido verticalmente

Cuando $a$ está entre $0$ y $1$ : comprimido verticalmente

Compresión o expansión vertical: comprimido

Paso 11

Compara y enumera las transformaciones.

Función principal: $y = x^{2}$

Desplazamiento horizontal: unidades $1$ a la izquierda

Desplazamiento vertical: ninguno

Reflejo en el eje x: se refleja

Reflejo en el eje y: ninguno

Compresión o expansión vertical: comprimido

Paso 12