Álgebra Ejemplos

$x y^{6} - y = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{6} - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y^{6}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

Paso 3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $x'$ de ambos lados de la ecuación.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $6 y^{5} x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

Paso 5.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $y^{6} x' - x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $y^{6} x'$ .

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $- x'$ .

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ .

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.4

Reescribe $y^{6}$ como ${(y^{2})}^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.5

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y^{2}$ y $b = 1$ .

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.7

Factoriza.

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Paso 5.7.1

Simplifica.

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Paso 5.7.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.7.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.7.1.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Paso 5.9

Divide cada término en $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ por $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.9.1

Divide cada término en $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ por $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.2.1

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 5.9.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.9.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.2.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 5.9.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 5.9.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.2.3

Cancela el factor común de ${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ .

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Paso 5.9.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.9.3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.9.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.9.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.2

Reescribe $y^{4} + y^{2} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 5.9.3.1.1.2.1

Reescribe el término medio.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.2.2

Reorganiza los términos.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.2.3

Factoriza los primeros tres términos por la regla del cuadrado perfecto.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y^{2} + 1$ y $b = y$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.2.5

Simplifica.

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Paso 5.9.3.1.1.2.5.1

Reordena los términos.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.1.2.5.2

Reordena los términos.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.9.3.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.9.3.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.3.2

Reescribe $y^{4} + y^{2} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 5.9.3.1.3.2.1

Reescribe el término medio.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

Paso 5.9.3.1.3.2.2

Reorganiza los términos.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

Paso 5.9.3.1.3.2.3

Factoriza los primeros tres términos por la regla del cuadrado perfecto.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

Paso 5.9.3.1.3.2.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y^{2} + 1$ y $b = y$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

Paso 5.9.3.1.3.2.5

Simplifica.

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Paso 5.9.3.1.3.2.5.1

Reordena los términos.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

Paso 5.9.3.1.3.2.5.2

Reordena los términos.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$