Álgebra Ejemplos

$y = \log_{5} (2 x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{5} (2 y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{5} (2 y) = x$ .

$\log_{5} (2 y) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{5} (2 y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $2 y = 5^{x}$ .

$2 y = 5^{x}$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $2 y = 5^{x}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $2 y = 5^{x}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$ es la inversa de $f (x) = \log_{5} (2 x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{5} (2 x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x)}}{2}$

Paso 4.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{5^{x}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}))$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}))$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Paso 4.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x \log_{5} (5)$

Paso 4.3.5

El logaritmo en base $5$ de $5$ es $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Paso 4.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$ es la inversa de $f (x) = \log_{5} (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2}$