Álgebra Ejemplos

$y = \frac{4^{x}}{2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{4^{y}}{2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4^{y}}{2} = x$ .

$\frac{4^{y}}{2} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{4^{y}}{2} = 2 x$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{4^{y}}{2} = 2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$4^{y} = 2 x$

Paso 2.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{y}) = \ln (2 x)$

Paso 2.5

Expande $\ln (4^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (4) = \ln (2 x)$

Paso 2.6

Divide cada término en $y \ln (4) = \ln (2 x)$ por $\ln (4)$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $y \ln (4) = \ln (2 x)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{4^{x}}{2}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2}) = \frac{\ln (2 (\frac{4^{x}}{2}))}{\ln (4)}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2}) = \frac{\ln (2 (\frac{4^{x}}{2}))}{\ln (4)}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Paso 4.2.4

Expande $\ln (4^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Paso 4.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{2}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}}}{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (2 x)}}{2}$

Paso 4.3.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{4^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2 x)}{\ln (4)}$