Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) = \log_{2} (x)$

Paso 1

Resta $\log_{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x) = 0$

Paso 2

Simplifica $\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x)$ .

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Paso 2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 8$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3}) - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 4$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

Paso 2.2.2

Simplifica $- 2 \log_{2} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - \log_{2} (x^{2}) = 0$

Paso 2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 0$

Paso 2.5

Combinar.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x \cdot x^{2}}) = 0$

Paso 2.6

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1} x^{2}}) = 0$

Paso 2.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1 + 2}}) = 0$

Paso 2.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{3}}) = 0$

Paso 2.7

Multiplica $2 (x^{3} - 4)$ por $1$ .

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}$

Paso 4

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 (x^{3} - 4) = 2^{0} (x^{3})$

Paso 5

Simplifica $2^{0} (x^{3})$ .

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Paso 5.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = 1 x^{3}$

Paso 5.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$2 (x^{3} - 4) = x^{3}$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 (x^{3} - 4) - x^{3} = 0$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 4 - x^{3} = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 x^{3} - 8 - x^{3} = 0$

Paso 6.3

Resta $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Paso 7.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Paso 7.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 8

Simplifica $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Paso 8.1

Expande $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4 = 0$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Paso 8.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8$ .

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Paso 8.2.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{3} + 4 x + 0 - 4 x - 8 = 0$

Paso 8.2.2.2

Suma $x^{3} + 4 x$ y $0$ .

$x^{3} + 4 x - 4 x - 8 = 0$

Paso 8.2.2.3

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$x^{3} + 0 - 8 = 0$

Paso 8.2.2.4

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 9

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 8$

Paso 10

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 8 = 0$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Paso 11.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Paso 11.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 13

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 13.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 14

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x^{2} + 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 14.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3

Simplifica.

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Paso 14.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 14.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 14.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 14.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 14.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 14.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 14.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 14.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Paso 14.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 14.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 14.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 14.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 14.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 14.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 14.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$