Álgebra Ejemplos

$x^{4} - x^{2} = x^{2} + 8$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - x^{2} - x^{2} = 8$

Paso 1.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} - x^{2} - x^{2} - 8 = 0$

Paso 2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Paso 3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8 = 0$

Paso 4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Paso 5

Factoriza $u^{2} - 2 u - 8$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 10

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 10.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 11

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 11.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 12

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 12.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 12.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 12.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 12.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 12.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 12.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 12.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 12.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$