Álgebra Ejemplos

$y = \log (\frac{1}{3} x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log (\frac{1}{3} y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log (\frac{1}{3} y) = x$ .

$\log (\frac{1}{3} y) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log (\frac{1}{3} y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{x} = \frac{1}{3} y$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} y = 10^{x}$ .

$\frac{1}{3} y = 10^{x}$

Paso 2.3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y) = 3 \cdot 10^{x}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y)$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \cdot 10^{x}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y}{3} = 3 \cdot 10^{x}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 3 \cdot 10^{x}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \cdot 10^{x}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 3 \cdot 10^{x}$ es la inversa de $f (x) = \log (\frac{1}{3} x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log (\frac{1}{3} x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log (\frac{1}{3} x)) = 3 \cdot 10^{\log (\frac{1}{3} x)}$

Paso 4.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log (\frac{1}{3} x)) = 3 \cdot (\frac{1}{3} x)$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\log (\frac{1}{3} x)) = 3 \cdot \frac{x}{3}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\log (\frac{1}{3} x)) = 3 \cdot \frac{x}{3}$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\log (\frac{1}{3} x)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (3 \cdot 10^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (3 \cdot 10^{x}) = \log (\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 10^{x}))$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 10^{x}$ .

$f (3 \cdot 10^{x}) = \log (\frac{1}{3} \cdot (3 (10^{x})))$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (3 \cdot 10^{x}) = \log (\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 10^{x}))$

Paso 4.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (3 \cdot 10^{x}) = \log (10^{x})$

Paso 4.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (3 \cdot 10^{x}) = x \log (10)$

Paso 4.3.5

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$f (3 \cdot 10^{x}) = x \cdot 1$

Paso 4.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (3 \cdot 10^{x}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 3 \cdot 10^{x}$ es la inversa de $f (x) = \log (\frac{1}{3} x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \cdot 10^{x}$