Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(\sqrt{2} + \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}$

Paso 3

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{20} + \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Eleva $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 5.2

Eleva $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} {(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1}}{- 8}$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1 + 1}}{- 8}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}}{- 8}$

Paso 6

Reescribe ${(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}$ como $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 7

Expande $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2 + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.5

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{10})$ .

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Paso 8.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.5.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{2 - \sqrt{20} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.6

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.1.6.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.9

Multiplica $- \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Paso 8.1.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.9.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{20} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.10

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.1.10.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.10.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.11

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.12

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Paso 8.1.13

Multiplica $- \sqrt{10} (- \sqrt{10})$ .

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Paso 8.1.13.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 1 \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Paso 8.1.13.2

Multiplica $\sqrt{10}$ por $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Paso 8.1.13.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}{- 8}$

Paso 8.1.13.4

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}{- 8}$

Paso 8.1.13.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{- 8}$

Paso 8.1.13.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{2}}{- 8}$

Paso 8.1.14

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 8.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 8}$

Paso 8.1.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 8}$

Paso 8.1.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Paso 8.1.14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.14.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Paso 8.1.14.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{1}}{- 8}$

Paso 8.1.14.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10}{- 8}$

Paso 8.2

Suma $2$ y $10$ .

$\frac{12 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5}}{- 8}$

Paso 8.3

Resta $2 \sqrt{5}$ de $- 2 \sqrt{5}$ .

$\frac{12 - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Paso 9

Cancela el factor común de $12 - 4 \sqrt{5}$ y $- 8$ .

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Paso 9.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3) - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Paso 9.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (3) + 4 (- \sqrt{5})}{- 8}$

Paso 9.3

Factoriza $4$ de $4 (3) + 4 (- \sqrt{5})$ .

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{- 8}$

Paso 9.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Paso 9.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \sqrt{5}}{- 2}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$