Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{x^{4}} - 7$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{x^{4}} - 7$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{y^{4}} - 7$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$ .

$\frac{1}{y^{4}} - 7 = x$

Paso 3.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{y^{4}} = x + 7$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{4}, 1, 1$

Paso 3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{4}$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ por $y^{4}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{4}} = x + 7$ por $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = x y^{4} + 7 y^{4}$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x y^{4} + 7 y^{4}$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x y^{4} + 7 y^{4} = 1$ .

$x y^{4} + 7 y^{4} = 1$

Paso 3.5.2

Factoriza $y^{4}$ de $x y^{4} + 7 y^{4}$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $y^{4}$ de $x y^{4}$ .

$y^{4} x + 7 y^{4} = 1$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $y^{4}$ de $7 y^{4}$ .

$y^{4} x + y^{4} \cdot 7 = 1$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $y^{4}$ de $y^{4} x + y^{4} \cdot 7$ .

$y^{4} (x + 7) = 1$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $y^{4} (x + 7) = 1$ por $x + 7$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $y^{4} (x + 7) = 1$ por $x + 7$ .

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{4} (x + 7)}{x + 7} = \frac{1}{x + 7}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{x + 7}$

Paso 3.5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$

Paso 3.5.5

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ .

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Paso 3.5.5.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{x + 7}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Paso 3.5.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$

Paso 3.5.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Paso 3.5.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{x + 7}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{\sqrt[4]{x + 7} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Paso 3.5.5.4.2

Eleva $\sqrt[4]{x + 7}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1} {\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}$

Paso 3.5.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{1 + 3}}$

Paso 3.5.5.4.4

Suma $1$ y $3$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{\sqrt[4]{x + 7}}^{4}}$

Paso 3.5.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[4]{x + 7}}^{4}$ como $x + 7$ .

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Paso 3.5.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{({(x + 7)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 3.5.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 3.5.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Paso 3.5.5.4.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{\frac{4}{4}}}$

Paso 3.5.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{{(x + 7)}^{1}}$

Paso 3.5.5.4.5.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{{\sqrt[4]{x + 7}}^{3}}{x + 7}$

Paso 3.5.5.5

Reescribe ${\sqrt[4]{x + 7}}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Paso 3.5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt[4]{{(x + 7)}^{3}}}{x + 7}$

Paso 3.5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.