Álgebra Ejemplos

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Expande $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ como $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.3.3

Expande $\ln (5^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Simplifica $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1.2.1

Combina $y$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.4.1.2.2

Combina $\frac{y}{2}$ y $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

Paso 2.5

Multiplica cada término en $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ por $2$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Multiplica cada término en $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ por $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Paso 2.5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Paso 2.5.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (2)}{2}$ al numerador.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Paso 2.5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Paso 2.5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

Paso 2.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

Paso 2.7

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Suma $\ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

Paso 2.7.2

Suma $2 \ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

Paso 2.8

Divide cada término en $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Divide cada término en $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 2.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 2.8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica los exponentes en ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.2.2

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.3

Simplifica $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.4

Aplica la regla del producto a $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.6.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.6.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.6.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.6.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.6.2

Evalúa el exponente.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Paso 4.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.7

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 4.2.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.3

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.5.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 4.3.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.3.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.3.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$