Álgebra Ejemplos

$y = - 3 \log_{6} (x)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - 3 \log_{6} (y)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $- 3 \log_{6} (y) = x$ .

$- 3 \log_{6} (y) = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 3 \log_{6} (y) = x$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 3 \log_{6} (y) = x$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \log_{6} (y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \log_{6} (y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\log_{6} (y)$ por $1$ .

$\log_{6} (y) = \frac{x}{- 3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\log_{6} (y) = - \frac{x}{3}$

Paso 2.3

Reescribe $\log_{6} (y) = - \frac{x}{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{- \frac{x}{3}} = y$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación como $y = 6^{- \frac{x}{3}}$ .

$y = 6^{- \frac{x}{3}}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$ es la inversa de $f (x) = - 3 \log_{6} (x)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{- 3 \log_{6} (x)}{3}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 \log_{6} (x)$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3}}$

Paso 4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3 (1)}}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{3 (- \log_{6} (x))}{3 \cdot 1}}$

Paso 4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{- \frac{- \log_{6} (x)}{1}}$

Paso 4.2.3.2.4

Divide $- \log_{6} (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = 6^{\log_{6} (x)}$

Paso 4.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (- 3 \log_{6} (x)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (6^{- \frac{x}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 \log_{6} (6^{- \frac{x}{3}})$

Paso 4.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $- \frac{x}{3}$ fuera del exponente.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3} \cdot \log_{6} (6))$

Paso 4.3.4

El logaritmo en base $6$ de $6$ es $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3} \cdot 1)$

Paso 4.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{3}$ al numerador.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Paso 4.3.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Paso 4.3.6.3

Cancela el factor común.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Paso 4.3.6.4

Reescribe la expresión.

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = - 1 (- x)$

Paso 4.3.7

Multiplica.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = 1 x$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (6^{- \frac{x}{3}}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$ es la inversa de $f (x) = - 3 \log_{6} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 6^{- \frac{x}{3}}$