Álgebra Ejemplos

$x = \log_{5} (y)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\log_{5} (y) = x$ .

$\log_{5} (y) = x$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (y) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{x} = y$

Paso 3

Reescribe la ecuación como $y = 5^{x}$ .

$y = 5^{x}$

Paso 4

Intercambia las variables.

$x = 5^{y}$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $5^{y} = x$ .

$5^{y} = x$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

Paso 5.3

Expande $\ln (5^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (5) = \ln (x)$

Paso 5.4

Divide cada término en $y \ln (5) = \ln (x)$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y \ln (5) = \ln (x)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 6

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 7

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = 5^{x}$ .

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Paso 7.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 7.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 7.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 7.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Paso 7.2.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 7.2.4

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 7.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Paso 7.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

Paso 7.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 7.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 7.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Paso 7.3.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Paso 7.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Paso 7.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = 5^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$