Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 3 x^{3} > 4 x^{2} - 12 x$

Paso 1

Resuelve $x < - 2 or 0 < x < 2 or x > 3$ .

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} > - 12 x$

Paso 1.1.2

Suma $12 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x > 0$

Paso 1.2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 1.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) - 4 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $x$ de $- 4 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) + x (- 4 x) + 12 x = 0$

Paso 1.3.1.4

Factoriza $x$ de $12 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 12 = 0$

Paso 1.3.1.5

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 4 x) + x \cdot 12 = 0$

Paso 1.3.1.6

Factoriza $x$ de $x (x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 4 x)$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x) + x \cdot 12 = 0$

Paso 1.3.1.7

Factoriza $x$ de $x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12) = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3)) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 4)) = 0$

Paso 1.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x - 3) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Paso 1.3.5

Factoriza.

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Paso 1.3.5.1

Factoriza.

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Paso 1.3.5.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x ((x - 3) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Paso 1.3.5.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x ((x - 3) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 1.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 1.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.8

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.8.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3, - 2, 2$

Paso 1.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Paso 1.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{4} - 3 {(- 4)}^{3} > 4 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4$

Paso 1.11.1.3

$448$ del lado izquierdo es mayor que $112$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 1.11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} > 4 {(- 1)}^{2} - 12 \cdot - 1$

Paso 1.11.2.3

$4$ del lado izquierdo no es mayor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.11.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 1.11.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

${(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} > 4 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Paso 1.11.3.3

$- 2$ del lado izquierdo es mayor que $- 8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.11.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.5$

Paso 1.11.4.2

Reemplaza $x$ con $2.5$ en la desigualdad original.

${(2.5)}^{4} - 3 {(2.5)}^{3} > 4 {(2.5)}^{2} - 12 \cdot 2.5$

Paso 1.11.4.3

$- 7.8125$ del lado izquierdo no es mayor que $- 5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.11.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 1.11.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

${(6)}^{4} - 3 {(6)}^{3} > 4 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6$

Paso 1.11.5.3

$648$ del lado izquierdo es mayor que $72$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.11.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 1.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $0 < x < 2$ o $x > 3$

Paso 2

Usa la desigualdad $x < - 2 or 0 < x < 2 or x > 3$ para crear la notación de conjunto.

${x | x < - 2 or 0 < x < 2 or x > 3}$

Paso 3