Álgebra Ejemplos

$\frac{42^{x}}{6^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 42^{x}$ y $g (x) = 6^{x}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{{(6^{x})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(6^{x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{x \cdot 2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{6^{x} \frac{d}{d x} [42^{x}] - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $42$ .

$\frac{6^{x} (42^{x} \ln (42)) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Reescribe $42^{x} \cdot 6^{x}$ como ${(42 \cdot 6)}^{x}$ .

$\frac{{(42 \cdot 6)}^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Paso 4.2

Multiplica $42$ por $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} \frac{d}{d x} [6^{x}]}{6^{2 x}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 42^{x} (6^{x} \ln (6))}{6^{2 x}}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Reescribe $6^{x} \cdot 42^{x}$ como ${(6 \cdot 42)}^{x}$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - {(6 \cdot 42)}^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Paso 6.2

Multiplica $6$ por $42$ .

$\frac{252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Factoriza $252^{x}$ de $252^{x} \ln (42) - 252^{x} \ln (6)$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $252^{x}$ de $252^{x} \ln (42)$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42)) - 252^{x} \ln (6)}{6^{2 x}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $252^{x}$ de $- 252^{x} \ln (6)$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))}{6^{2 x}}$

Paso 7.1.3

Factoriza $252^{x}$ de $252^{x} (\ln (42)) + 252^{x} (- \ln (6))$ .

$\frac{252^{x} (\ln (42) - \ln (6))}{6^{2 x}}$

Paso 7.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{252^{x} \ln (\frac{42}{6})}{6^{2 x}}$

Paso 7.3

Divide $42$ por $6$ .

$\frac{252^{x} \ln (7)}{6^{2 x}}$