Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 3 x^{2} + 2 - \sqrt{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{6} - 5 x^{5} + 3 x^{2} + 2 - \sqrt{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{5}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 x^{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$6 x^{5} - 5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 2.3

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 5.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 5.7.2

Resta $2$ de $3$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.8

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6

Suma $6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x$ y $0$ .

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$