Álgebra Ejemplos

$f (x) = \ln (| \ln (12 x) |)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = | \ln (12 x) |$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $| \ln (12 x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (12 x) |]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (12 x) |]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $| \ln (12 x) |$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (12 x) |]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = \ln (12 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (12 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (12 x)])$

Paso 2.2

La derivada de $| u_{2} |$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (12 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (12 x) |} (\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)])$

Paso 3

Multiplica $\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) |}$ por $\frac{1}{| \ln (12 x) |}$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) | | \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Paso 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln (12 x) \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Paso 5

Eleva $\ln (12 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{1} (12 x) \ln (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Paso 6

Eleva $\ln (12 x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{1} (12 x) \ln^{1} (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (12 x)}{| {\ln (12 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (12 x)]$

Paso 9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 12 x$ .

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Paso 9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $12 x$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [12 x])$

Paso 9.2

La derivada de $\ln (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [12 x])$

Paso 9.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $12 x$ .

$\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |} (\frac{1}{12 x} \frac{d}{d x} [12 x])$

Paso 10

Diferencia.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{12 x}$ por $\frac{\ln (12 x)}{| \ln^{2} (12 x) |}$ .

$\frac{\ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [12 x]$

Paso 10.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} (12 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 10.3

Simplifica los términos.

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Paso 10.3.1

Combina $12$ y $\frac{\ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |}$ .

$\frac{12 \ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 10.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 \ln (12 x)}{12 x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |} \cdot 1$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |}$ por $1$ .

$\frac{\ln (12 x)}{x | \ln^{2} (12 x) |}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$\frac{\ln (12 x)}{x \ln^{2} (12 x)}$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $\ln (12 x)$ y $\ln^{2} (12 x)$ .

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Paso 11.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\ln (12 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (12 x)}$

Paso 11.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $\ln (12 x)$ de $x \ln^{2} (12 x)$ .

$\frac{\ln (12 x) \cdot 1}{\ln (12 x) (x \ln (12 x))}$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (12 x) \cdot 1}{\ln (12 x) (x \ln (12 x))}$

Paso 11.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x \ln (12 x)}$