Álgebra Ejemplos

$4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$ con respecto a $v$ es $4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$ .

$4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ es $f' (g (v)) g' (v)$ donde $f (v) = \tan^{-1} (v)$ y $g (v) = e^{u} + \sin (v)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{u} + \sin (v)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Paso 2.2

La derivada de $\tan^{-1} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{u} + \sin (v)$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ y $4$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{u} + \sin (v)$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)]$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

Paso 3.3

Como $e^{u}$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $e^{u}$ con respecto a $v$ es $0$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (0 + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d v} [\sin (v)]$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [\sin (v)]$

Paso 4

La derivada de $\sin (v)$ con respecto a $v$ es $\cos (v)$ .

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \cos (v)$

Paso 5

Combina fracciones.

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Paso 5.1

Combina $\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ y $\cos (v)$ .

$\frac{4 \cos (v)}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{4 \cos (v)}{{(e^{u} + \sin (v))}^{2} + 1}$