Álgebra Ejemplos

$z = \sqrt{9 x y}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d y} [\sqrt{9 x y}]$ como $\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $9 x y$ como $3^{2} (x y)$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} x y}]$

Paso 1.1.2

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d y} [\sqrt{3^{2} (x y)}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d y} [3 \sqrt{x y}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 8.3

Mueve ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 9

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d y} [y])$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Combina $x$ y $\frac{3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 10.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 12

Multiplica $\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la regla del producto a $x y$ .

$\frac{3 x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.2.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 13.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2.2.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$