Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{9}}$ $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{x^{9}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{x^{9}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{y^{9}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{y^{9}} = x$ .

$\frac{1}{y^{9}} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{9}, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{9}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{9}} = x$ por $y^{9}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{9}} = x$ por $y^{9}$ .

$\frac{1}{y^{9}} y^{9} = x y^{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{9}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{9}} y^{9} = x y^{9}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x y^{9}$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x y^{9} = 1$ .

$x y^{9} = 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $x y^{9} = 1$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $x y^{9} = 1$ por $x$ .

$\frac{x y^{9}}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{9}}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y^{9}$ por $1$ .

$y^{9} = \frac{1}{x}$

Paso 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[9]{\frac{1}{x}}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\sqrt[9]{\frac{1}{x}}$ .

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Paso 3.4.4.1

Reescribe $\sqrt[9]{\frac{1}{x}}$ como $\frac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{x}}$

Paso 3.4.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[9]{x}}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[9]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[9]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$

Paso 3.4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[9]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{\sqrt[9]{x} {\sqrt[9]{x}}^{8}}$

Paso 3.4.4.4.2

Eleva $\sqrt[9]{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{1} {\sqrt[9]{x}}^{8}}$

Paso 3.4.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{1 + 8}}$

Paso 3.4.4.4.4

Suma $1$ y $8$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{9}}$

Paso 3.4.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[9]{x}}^{9}$ como $x$ .

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Paso 3.4.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[9]{x}$ como $x^{\frac{1}{9}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{9}}$

Paso 3.4.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{1}{9} \cdot 9}}$

Paso 3.4.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{9}$ y $9$ .

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{9}{9}}}$

Paso 3.4.4.4.5.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.4.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{9}{9}}}$

Paso 3.4.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{1}}$

Paso 3.4.4.4.5.5

Simplifica.

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x}$

Paso 3.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[9]{x}}^{8}$ como $\sqrt[9]{x^{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

Paso 5

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 6

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{\sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{9}})}^{8}}}{\frac{1}{x^{9}}}$

Paso 7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{9}})}^{8}} x^{9}$

Paso 8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{8}}{{(x^{9})}^{8}}} x^{9}$

Paso 9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{{(x^{9})}^{8}}} x^{9}$

Paso 10

Multiplica los exponentes en ${(x^{9})}^{8}$ .

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Paso 10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{x^{9 \cdot 8}}} x^{9}$

Paso 10.2

Multiplica $9$ por $8$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{x^{72}}} x^{9}$

Paso 11

Reescribe $1$ como $1^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{9}}{x^{72}}} x^{9}$

Paso 12

Reescribe $x^{72}$ como ${(x^{8})}^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{9}}{{(x^{8})}^{9}}} x^{9}$

Paso 13

Reescribe $\frac{1^{9}}{{(x^{8})}^{9}}$ como ${(\frac{1}{x^{8}})}^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{8}})}^{9}} x^{9}$

Paso 14

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot x^{9}$

Paso 15

Cancela el factor común de $x^{8}$ .

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Paso 15.1

Factoriza $x^{8}$ de $x^{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot (x^{8} x)$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot (x^{8} x)$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = x$