Álgebra Ejemplos

$2 y = x^{2} + 2 x$ , $y = 4 x - 23$

Paso 1

Obtén cada ecuación del plano en ecuación ordinaria.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - x^{2} = 2 x, y = 4 x - 23$

Paso 1.1.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y = 4 x - 23$

Paso 1.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - x^{2} - 2 x = 0, y - 4 x = - 23$

Paso 2

Para obtener la intersección de la línea que pasa por un punto $(p, q, r)$ perpendicular al plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ y al plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Busca los vectores normales del plano $P_{1}$ y del plano $P_{2}$ donde los vectores normales son $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ y $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Comprueba si el producto escalar es 0.

2. Crea un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ .

3. Sustituye estas ecuaciones en la ecuación del plano $P_{2}$ tal que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ y resuelve para $t$ .

4. A partir del valor de $t$ , resuelve las ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ en $t$ para obtener la intersección de $(x, y, z)$ .

Paso 3

Obtén los vectores normales para cada plano y determina si son perpendiculares mediante el cálculo del producto escalar.

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Paso 3.1

$P_{1}$ es $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ . Encuentra el vector normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 2, 2, 0 ⟩$

Paso 3.2

$P_{2}$ es $y - 4 x = - 23$ . Encuentra el vector normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ a partir de la ecuación del plano de la forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ - 4, 1, 0 ⟩$

Paso 3.3

Calcula el producto escalar de $n_{1}$ y $n_{2}$ mediante la suma de los productos de los valores correspondientes de $x$ , $y$ y $z$ en los vectores normales.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4

Simplifica el producto escalar.

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Paso 3.4.1

Elimina los paréntesis.

$- 2 \cdot - 4 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$8 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 + 2 + 0 \cdot 0$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$8 + 2 + 0$

Paso 3.4.3

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.4.3.1

Suma $8$ y $2$ .

$10 + 0$

Paso 3.4.3.2

Suma $10$ y $0$ .

$10$

Paso 4

A continuación, construye un conjunto de ecuaciones paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ y $z = r + c t$ con el origen $(0, 0, 0)$ para el punto $(p, q, r)$ y los valores del vector normal $10$ para los valores de $a$ , $b$ y $c$ . Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la línea que pasa por el origen perpendicular a $P_{1}$ $2 y - x^{2} - 2 x = 0$ .

$x = 0 + - 2 \cdot t$

$y = 0 + 2 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Paso 5

Sustituye la expresión para $x$ , $y$ y $z$ en la ecuación para $P_{2}$ $y - 4 x = - 23$ .

$(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

Paso 6

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 6.1

Simplifica $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

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Paso 6.1.1

Combina los términos opuestos en $(0 + 2 \cdot t) - 4 (0 - 2 \cdot t)$ .

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Paso 6.1.1.1

Suma $0$ y $2 \cdot t$ .

$2 \cdot t - 4 (0 - 2 \cdot t) = - 23$

Paso 6.1.1.2

Resta $2 \cdot t$ de $0$ .

$2 \cdot t - 4 (- 2 \cdot t) = - 23$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$2 t + 8 t = - 23$

Paso 6.1.3

Suma $2 t$ y $8 t$ .

$10 t = - 23$

Paso 6.2

Divide cada término en $10 t = - 23$ por $10$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $10 t = - 23$ por $10$ .

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 t}{10} = \frac{- 23}{10}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 23}{10}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$t = - \frac{23}{10}$

Paso 7

Resuelve las ecuaciones paramétricas en $x$ , $y$ y $z$ mediante el valor de $t$ .

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Paso 7.1

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 0 - 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Paso 7.1.2

Elimina los paréntesis.

$x = 0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

Paso 7.1.3

Simplifica $0 - 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

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Paso 7.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{23}{10}$ al numerador.

$x = 0 - 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

Paso 7.1.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = 0 + 2 (- 1) \cdot \frac{- 23}{10}$

Paso 7.1.3.1.1.3

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Paso 7.1.3.1.1.4

Cancela el factor común.

$x = 0 + 2 \cdot - 1 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Paso 7.1.3.1.1.5

Reescribe la expresión.

$x = 0 - 1 \cdot \frac{- 23}{5}$

Paso 7.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = 0 - 1 \cdot (- \frac{23}{5})$

Paso 7.1.3.1.3

Multiplica $- 1 (- \frac{23}{5})$ .

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Paso 7.1.3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 0 + 1 (\frac{23}{5})$

Paso 7.1.3.1.3.2

Multiplica $\frac{23}{5}$ por $1$ .

$x = 0 + \frac{23}{5}$

Paso 7.1.3.2

Suma $0$ y $\frac{23}{5}$ .

$x = \frac{23}{5}$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0 + 2 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Paso 7.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$

Paso 7.2.3

Simplifica $0 + 2 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{23}{10}$ al numerador.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{10}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $10$ .

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 (5)}$

Paso 7.2.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$y = 0 + 2 \cdot \frac{- 23}{2 \cdot 5}$

Paso 7.2.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$y = 0 + \frac{- 23}{5}$

Paso 7.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 0 - \frac{23}{5}$

Paso 7.2.3.2

Resta $\frac{23}{5}$ de $0$ .

$y = - \frac{23}{5}$

Paso 7.3

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 7.3.1

Elimina los paréntesis.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{23}{10}))$

Paso 7.3.2

Elimina los paréntesis.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$

Paso 7.3.3

Simplifica $0 + 0 \cdot (- \frac{23}{10})$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica $0 (- \frac{23}{10})$ .

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Paso 7.3.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{23}{10})$

Paso 7.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{23}{10}$ .

$z = 0 + 0$

Paso 7.3.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$z = 0$

Paso 7.4

Las ecuaciones paramétricas resueltas para $x$ , $y$ y $z$ .

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

$x = \frac{23}{5}$

$y = - \frac{23}{5}$

$z = 0$

Paso 8

Mediante los valores calculados para $x$ , $y$ y $z$ , el punto de intersección es $(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$ .

$(\frac{23}{5}, - \frac{23}{5}, 0)$