Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{4} p + \frac{3}{4} q)}^{3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $p$ .

${(\frac{p}{4} + \frac{3}{4} q)}^{3}$

Paso 1.2

Combina $\frac{3}{4}$ y $q$ .

${(\frac{p}{4} + \frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

${(\frac{p}{4})}^{3} + 3 {(\frac{p}{4})}^{2} \frac{3 q}{4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{p}{4}$ .

$\frac{p^{3}}{4^{3}} + 3 {(\frac{p}{4})}^{2} \frac{3 q}{4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{p^{3}}{64} + 3 {(\frac{p}{4})}^{2} \frac{3 q}{4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{p}{4}$ .

$\frac{p^{3}}{64} + 3 \frac{p^{2}}{4^{2}} \frac{3 q}{4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{p^{3}}{64} + 3 \frac{p^{2}}{16} \frac{3 q}{4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.5

Combina $3$ y $\frac{p^{2}}{16}$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{3 p^{2}}{16} \cdot \frac{3 q}{4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.6

Combinar.

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{3 p^{2} (3 q)}{16 \cdot 4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{16 \cdot 4} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.8

Multiplica $16$ por $4$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + 3 \frac{p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.9

Combina $3$ y $\frac{p}{4}$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3 p}{4} {(\frac{3 q}{4})}^{2} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.10.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 q}{4}$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3 p}{4} \cdot \frac{{(3 q)}^{2}}{4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.10.2

Aplica la regla del producto a $3 q$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3 p}{4} \cdot \frac{3^{2} q^{2}}{4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.11

Combinar.

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3 p (3^{2} q^{2})}{4 \cdot 4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.12

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.12.1

Mueve $3^{2}$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{2} \cdot 3 p q^{2}}{4 \cdot 4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.12.2

Multiplica $3^{2}$ por $3$ .

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Paso 3.12.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{2} \cdot 3^{1} p q^{2}}{4 \cdot 4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{2 + 1} p q^{2}}{4 \cdot 4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.12.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{3} p q^{2}}{4 \cdot 4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.13

Multiplica $4$ por $4^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.1

Multiplica $4$ por $4^{2}$ .

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Paso 3.13.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{3} p q^{2}}{4^{1} \cdot 4^{2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{3} p q^{2}}{4^{1 + 2}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.13.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{3^{3} p q^{2}}{4^{3}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.14

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{27 p q^{2}}{4^{3}} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.15

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{27 p q^{2}}{64} + {(\frac{3 q}{4})}^{3}$

Paso 3.16

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.16.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 q}{4}$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{27 p q^{2}}{64} + \frac{{(3 q)}^{3}}{4^{3}}$

Paso 3.16.2

Aplica la regla del producto a $3 q$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{27 p q^{2}}{64} + \frac{3^{3} q^{3}}{4^{3}}$

Paso 3.17

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{27 p q^{2}}{64} + \frac{27 q^{3}}{4^{3}}$

Paso 3.18

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{p^{3}}{64} + \frac{9 p^{2} q}{64} + \frac{27 p q^{2}}{64} + \frac{27 q^{3}}{64}$