Álgebra Ejemplos

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{8} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{12} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{8} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{12} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = - 1$

$h = 5$

Paso 4

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 5

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.5

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{12 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2^{1})}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{12 - (4 \cdot 2)}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.8

Multiplica $- (4 \cdot 2)$ .

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Paso 6.1.8.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 8}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.9

Resta $8$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.10

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.1.11

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 \sqrt{3}}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$0.57735026 \dots$

Paso 8