Álgebra Ejemplos

$x - 8 = - \frac{1}{20} {(y + 2)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Simplifica $- \frac{1}{20} {(y + 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Reescribe.

$x - 8 = 0 + 0 - \frac{1}{20} {(y + 2)}^{2}$

Paso 1.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x - 8 = - \frac{1}{20} {(y + 2)}^{2}$

Paso 1.1.1.3

Combina ${(y + 2)}^{2}$ y $\frac{1}{20}$ .

$x - 8 = - \frac{{(y + 2)}^{2}}{20}$

Paso 1.1.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{{(y + 2)}^{2}}{20} + 8$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$x = - \frac{1}{20} \cdot {(y + 2)}^{2} + 8$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{1}{20} \cdot {(y + 2)}^{2} + 8$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Reescribe ${(y + 2)}^{2}$ como $(y + 2) (y + 2)$ .

$- \frac{1}{20} \cdot ((y + 2) (y + 2)) + 8$

Paso 1.2.1.1.2

Expande $(y + 2) (y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{20} \cdot (y (y + 2) + 2 (y + 2)) + 8$

Paso 1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2)) + 8$

Paso 1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{20} \cdot (y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2) + 8$

Paso 1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$- \frac{1}{20} \cdot (y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2) + 8$

Paso 1.2.1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{1}{20} \cdot (y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2) + 8$

Paso 1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{20} \cdot (y^{2} + 2 y + 2 y + 4) + 8$

Paso 1.2.1.1.3.2

Suma $2 y$ y $2 y$ .

$- \frac{1}{20} \cdot (y^{2} + 4 y + 4) + 8$

Paso 1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{20} y^{2} - \frac{1}{20} (4 y) - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.2.1.1.5.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{1}{20} (4 y) - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{20}$ al numerador.

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- 1}{20} (4 y) - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- 1}{4 (5)} (4 y) - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.2.3

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- 1}{4 (5)} (4 (y)) - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.2.4

Cancela el factor común.

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- 1}{4 \cdot 5} (4 y) - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.2.5

Reescribe la expresión.

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- 1}{5} y - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.3

Combina $\frac{- 1}{5}$ y $y$ .

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- y}{5} - \frac{1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.1.5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{20}$ al numerador.

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- y}{5} + \frac{- 1}{20} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.4.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- y}{5} + \frac{- 1}{4 (5)} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.4.3

Cancela el factor común.

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- y}{5} + \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot 4 + 8$

Paso 1.2.1.1.5.4.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{y^{2}}{20} + \frac{- y}{5} + \frac{- 1}{5} + 8$

Paso 1.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} + \frac{- 1}{5} + 8$

Paso 1.2.1.1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} - \frac{1}{5} + 8$

Paso 1.2.1.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} - \frac{1}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.2.1.3

Combina $8$ y $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} - \frac{1}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} + \frac{- 1 + 8 \cdot 5}{5}$

Paso 1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1.5.1

Multiplica $8$ por $5$ .

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} + \frac{- 1 + 40}{5}$

Paso 1.2.1.5.2

Suma $- 1$ y $40$ .

$- \frac{y^{2}}{20} - \frac{y}{5} + \frac{39}{5}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{20}$

$b = - \frac{1}{5}$

$c = \frac{39}{5}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{5}}{2 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{\frac{1}{5}}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.4.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{20}$ .

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2}{20}}$

Paso 1.2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $20$ .

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Paso 1.2.4.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{20}}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Paso 1.2.4.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 10}}$

Paso 1.2.4.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}$

Paso 1.2.4.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{5} (1 \cdot 10)$

Paso 1.2.4.2.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$d = \frac{1}{5} \cdot 10$

Paso 1.2.4.2.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.4.2.7.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$d = \frac{1}{5} \cdot (5 (2))$

Paso 1.2.4.2.7.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Paso 1.2.4.2.7.3

Reescribe la expresión.

$d = 2$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{5}$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{1 {(\frac{1}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{1 \frac{1^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = \frac{39}{5} - \frac{1 \frac{1}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.5

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{1 (\frac{1}{25})}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{25}$ por $1$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{4 (- \frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{- 4 (\frac{1}{20})}$

Paso 1.2.5.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{20}$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{- 4}{20}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $20$ .

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Paso 1.2.5.2.1.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{4 (- 1)}{20}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{\frac{- 1}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{39}{5} - \frac{\frac{1}{25}}{- \frac{1}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{39}{5} - (\frac{1}{25} (- 1 \cdot 5))$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = \frac{39}{5} - (\frac{1}{5 (5)} (- 1 \cdot 5))$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Factoriza $5$ de $- 1 \cdot 5$ .

$e = \frac{39}{5} - (\frac{1}{5 (5)} (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{39}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{39}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1)$

Paso 1.2.5.2.1.6

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 1$ .

$e = \frac{39}{5} - \frac{- 1}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{39}{5} - - \frac{1}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.8

Multiplica $- - \frac{1}{5}$ .

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Paso 1.2.5.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{39}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Paso 1.2.5.2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$e = \frac{39}{5} + \frac{1}{5}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{39 + 1}{5}$

Paso 1.2.5.2.3

Suma $39$ y $1$ .

$e = \frac{40}{5}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $40$ por $5$ .

$e = 8$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{20} {(y + 2)}^{2} + 8$ .

$- \frac{1}{20} {(y + 2)}^{2} + 8$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{20} \cdot {(y + 2)}^{2} + 8$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{20}$

$h = 8$

$k = - 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(8, - 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{20})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{20})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{20})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{20}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $20$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{20}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 5}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 5)$

Paso 5.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 5)$ .

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 1 \cdot 5$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 2$

Paso 8