Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{7}$

Paso 1

Las raíces son los puntos en los que la gráfica forma una intersección con el eje x $(y = 0)$ .

$y = 0$ en las raíces

Paso 2

La raíz de $x = \frac{1}{2}$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (\frac{1}{2}) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - \frac{1}{2}$ .

Paso 3

La raíz de $x = \frac{1}{3}$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (\frac{1}{3}) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - \frac{1}{3}$ .

Paso 4

La raíz de $x = \frac{1}{7}$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (\frac{1}{7}) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - \frac{1}{7}$ .

Paso 5

Combina todos los factores en una sola ecuación.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6

Multiplica todos los factores para simplificar la ecuación $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$ .

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Paso 6.1

Expande $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.1.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.2

Para escribir $- \frac{x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.3

Para escribir $- \frac{x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.4.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = (x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.6

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.7

Combina $x^{2}$ y $\frac{6}{6}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Reordena los términos.

$y = \frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Paso 6.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Paso 6.4.2

Combina $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ y $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} (- \frac{1}{7})$ .

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Paso 6.5.1

Multiplica $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ por $\frac{1}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6 \cdot 7}$

Paso 6.5.2

Multiplica $6$ por $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Paso 6.6

Para escribir $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Paso 6.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $42$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.7.1

Multiplica $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Paso 6.7.2

Multiplica $6$ por $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{42} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Paso 6.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Paso 6.9

Simplifica el numerador.

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Paso 6.9.1

Factoriza $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

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Paso 6.9.1.1

Factoriza $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Paso 6.9.1.2

Factoriza $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $- (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{42}$

Paso 6.9.1.3

Factoriza $(3 x - 1) (2 x - 1)$ de $(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7 - 1)}{42}$

Paso 6.9.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.10

Expande $(3 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.11.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{(3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.11.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{(6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.11.2

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Paso 6.12

Expande $(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = \frac{6 x^{2} (7 x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13

Simplifica cada término.

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Paso 6.13.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{2} x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.13.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.13.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{1 + 2}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{3}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.3

Multiplica $6$ por $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.13.6.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 (x \cdot x)) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x^{2}) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.7

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.8

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.9

Multiplica $7 x$ por $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x + 1 \cdot - 1}{42}$

Paso 6.13.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Paso 6.14

Resta $35 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Paso 6.15

Suma $5 x$ y $7 x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$

Paso 6.16

Divide la fracción $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$ en dos fracciones.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.17

Divide la fracción $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42}$ en dos fracciones.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.18

Divide la fracción $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42}$ en dos fracciones.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.19

Cancela el factor común de $42$ .

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Paso 6.19.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.19.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.21

Cancela el factor común de $12$ y $42$ .

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Paso 6.21.1

Factoriza $6$ de $12 x$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{42} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.21.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.21.2.1

Factoriza $6$ de $42$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 (7)} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.21.2.2

Cancela el factor común.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 \cdot 7} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.21.2.3

Reescribe la expresión.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} + \frac{- 1}{42}$

Paso 6.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} - \frac{1}{42}$

Paso 7