Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 16 x^{2} + 27 x - 18$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$f (x) = 3 x^{3} + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Paso 2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3} + 27 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Paso 2.2

Factoriza $3 x$ de $27 x$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 3 x (9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Paso 2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (9)$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Paso 3

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 16 x^{2} - 18$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $16 x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 2 (8 x^{2}) - 18$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 2 (8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 2 (8 x^{2})$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2} - 9)$

Paso 4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9)$

Paso 5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (u^{2} + 8 u - 9)$

Paso 6

Factoriza $u^{2} + 8 u - 9$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + i x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $i$ . En este caso, cuyo producto es $- 9$ y cuya suma es $8$ .

$f (x) = - 1, 9$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((u - 1) (u + 9))$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} + 9))$

Paso 8

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , donde $a = x$ y $i = 1$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Paso 10

Factoriza $x^{2} + 9$ de $3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Paso 10.1

Factoriza $x^{2} + 9$ de $3 x (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Paso 10.2

Factoriza $x^{2} + 9$ de $2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$

Paso 10.3

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x + 1) (x - 1))$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2 \cdot 1) (x - 1))$

Paso 12

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2) (x - 1))$

Paso 13

Expande $(2 x + 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x (x - 1) + 2 (x - 1))$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1))$

Paso 13.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Paso 14

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 14.1.1.1

Mueve $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Paso 14.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Paso 14.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Paso 14.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

Paso 14.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 0 - 2)$

Paso 14.3

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2)$

Paso 15

Reordena los términos.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Paso 16

Factoriza.

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Paso 16.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 16.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + i x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $i = 3$ .

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Paso 16.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Paso 16.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Paso 16.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Paso 16.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 16.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Paso 16.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Paso 16.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 2))$

Paso 16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 2)$