Álgebra Ejemplos

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Resta $5 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Paso 1.1.2

Resta $9 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Paso 1.1.3

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Paso 1.1.4

Suma $54 y$ a ambos lados de la ecuación.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Paso 1.1.5

Suma $y$ y $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- 5 x^{2} - 10 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $100$ por $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$e = 5$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Paso 1.3

Sustituye $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ por $- 5 x^{2} - 10 x$ en la ecuación $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Paso 1.4

Mueve $5$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $5$ a ambos lados.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 9 y^{2} + 55 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Paso 1.5.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{55}{18}$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $55$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- - \frac{3025}{36}$ .

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Paso 1.5.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Paso 1.5.4.2.1.4.2

Multiplica $\frac{3025}{36}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Paso 1.6

Sustituye $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ por $- 9 y^{2} + 55 y$ en la ecuación $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Paso 1.7

Mueve $\frac{3025}{36}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{3025}{36}$ a ambos lados.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8

Simplifica $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

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Paso 1.8.1

Obtén el denominador común

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Paso 1.8.1.1

Escribe $41$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8.1.2

Multiplica $\frac{41}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $\frac{41}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8.1.4

Escribe $- 5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8.1.5

Multiplica $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8.1.6

Multiplica $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Paso 1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Paso 1.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $41$ por $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Paso 1.8.3.2

Multiplica $- 5$ por $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Paso 1.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.4.1

Resta $180$ de $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Paso 1.8.4.2

Resta $3025$ de $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Paso 1.8.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Paso 1.10

Divide cada término por $\frac{1729}{36}$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Paso 5