Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Paso 2

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Paso 2.1.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Paso 2.1.3

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$ .

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Paso 2.1.3.1

Expande $(x - 1) (x + 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 7) - 1 (x + 7))$

Paso 2.1.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 (x + 7))$

Paso 2.1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Paso 2.1.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Paso 2.1.3.2.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 7)$

Paso 2.1.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 1 \cdot 7)$

Paso 2.1.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 7)$

Paso 2.1.3.2.2

Resta $x$ de $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$

Paso 2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4

Simplifica.

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Paso 2.1.3.4.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.2.2

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (3 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Paso 2.1.3.4.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 7}{4}$

Paso 2.1.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$

Paso 2.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$ .

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Paso 2.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Paso 2.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Paso 2.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 2.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Paso 2.2.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 2.2.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 2.2.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$d = 3$

Paso 2.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Paso 2.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Paso 2.2.4.2.1.4

Divide $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 2.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 7 - 9}{4}$

Paso 2.2.4.2.3

Resta $9$ de $- 7$ .

$e = \frac{- 16}{4}$

Paso 2.2.4.2.4

Divide $- 16$ por $4$ .

$e = - 4$

Paso 2.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$

Paso 2.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 4$

Paso 3

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 4$

Paso 4

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 5

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 4)$

Paso 6

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 6.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 6.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 6.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 6.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 6.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 7

Obtén el foco.

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Paso 7.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, - 3)$

Paso 8

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 3$

Paso 9