Álgebra Ejemplos

$1 + 4 i$ , $- 2 + 4 i$ , $- 2 - 3 i$ , $1 - 3 i$

Paso 1

$x = 1 + 4 i$ y $x = - 2 + 4 i$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - 1 + 4 i$ y $x - - 2 + 4 i$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - 1 + 4 i) (x + 2 + 4 i) = 0$

Paso 2

Expande $(x - 1 + 4 i) (x + 2 + 4 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x + x \cdot 2 + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 4 \cdot (x i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 4 i (4 i) = 0$

Paso 3.1.8

Multiplica $4 i (4 i)$ .

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Paso 3.1.8.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i i = 0$

Paso 3.1.8.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 (i i) = 0$

Paso 3.1.8.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 (i i) = 0$

Paso 3.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i^{1 + 1} = 0$

Paso 3.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i^{2} = 0$

Paso 3.1.9

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 \cdot - 1 = 0$

Paso 3.1.10

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i - 16 = 0$

Paso 3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + 4 x i + x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i - 16 = 0$

Paso 4

Suma $4 x i$ y $4 i x$ .

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Paso 4.1

Mueve $i$ .

$x^{2} + 4 x i + 4 x i + x - 2 - 4 i + 8 i - 16 = 0$

Paso 4.2

Suma $4 x i$ y $4 x i$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 2 - 4 i + 8 i - 16 = 0$

Paso 5

Resta $16$ de $- 2$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 18 - 4 i + 8 i = 0$

Paso 6

Suma $- 4 i$ y $8 i$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i = 0$

Paso 7

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${1 + 4 i, - 2 + 4 i, - 2 - 3 i, 1 - 3 i}$ es $y = x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i$ .

$y = x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i$

Paso 8