Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$

Paso 1

$x = \frac{1}{2}$ y $x = \frac{1}{3}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - \frac{1}{2}$ y $x - \frac{1}{3}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = 0$

Paso 2

Expande $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Paso 3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Paso 3.1.3

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Paso 3.1.4

Multiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = 0$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = 0$

Paso 3.1.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.3

Para escribir $- \frac{x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.6

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.7

Combina $x^{2}$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} = 0$

Paso 5

Expande $(3 x - 1) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1}{6} = 0$

Paso 6.2

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6} = 0$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6}$ en dos fracciones.

$\frac{6 x^{2} - 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 8

Divide la fracción $\frac{6 x^{2} - 5 x}{6}$ en dos fracciones.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 9

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Paso 11

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ es $y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$ .

$y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$

Paso 12