Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{2}$

Paso 1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 x ((x - 2) (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$2 x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 x (x^{2} - 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$(2 (x^{2} x) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.5.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x^{2 + 1} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(2 x^{3} + 2 x (- 4 x) + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x \cdot x + 2 x \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x \cdot x + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 (x \cdot x) + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x^{2} + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) {(x + 1)}^{2}$

Paso 1.6.2

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) ((x + 1) (x + 1))$

Paso 1.7

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Paso 1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.8.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Paso 1.8.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + x + x + 1)$

Paso 1.8.2

Suma $x$ y $x$ .

$(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 1.9

Expande $(2 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10

Simplifica los términos.

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Paso 1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 3} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$2 x^{5} + 2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.3.1

Mueve $x$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.10.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$2 x^{5} + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 1 - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2 + 2} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.6.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 x^{2} (2 x) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.8.1

Mueve $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.10.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 8 \cdot 2 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.9

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1 + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.10

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x \cdot x^{2} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.11

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.11.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 (x^{2} x) + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.10.1.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 (x^{2} x^{1}) + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{2 + 1} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.11.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 x (2 x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 x \cdot x + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.13

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.13.1

Mueve $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 (x \cdot x) + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.13.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 8 \cdot 2 x^{2} + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.14

Multiplica $8$ por $2$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x \cdot 1$

Paso 1.10.1.15

Multiplica $8$ por $1$ .

$2 x^{5} + 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Paso 1.10.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.10.2.1

Resta $8 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{3} - 16 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Paso 1.10.2.2

Resta $16 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 14 x^{3} - 8 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x$

Paso 1.10.2.3

Suma $- 14 x^{3}$ y $8 x^{3}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 6 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x^{2} + 8 x$

Paso 1.10.2.4

Suma $- 8 x^{2}$ y $16 x^{2}$ .

$2 x^{5} - 4 x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x$

Paso 2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$5$