Álgebra Ejemplos

$\ln (x^{4} + 27)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{4} + 27)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 2.1.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Paso 2.1.1.2.3

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Paso 2.1.1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.2.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Paso 2.1.1.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Paso 2.1.1.2.4.3

Combina $\frac{4}{x^{4} + 27}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.5

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Combina $4$ y $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica.

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Paso 2.1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.6.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.6.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.3

Multiplica $3$ por $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.4

Multiplica $81$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.4.2

Resta $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1.1.1

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Paso 2.2.3.1.1.2

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Paso 2.2.3.1.1.3

Factoriza $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Paso 2.2.3.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Paso 2.2.3.1.3

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Paso 2.2.3.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Paso 2.2.3.1.5

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1.5.1

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1.5.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Paso 2.2.3.1.5.1.2

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1.5.1.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Paso 2.2.3.1.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 2.2.3.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 2.2.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 2.2.3.3

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.2.3.3.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.3.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.2.3.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.2.3.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.2.3.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.3.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.2.3.4

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.4.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 2.2.3.4.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.3.4.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 2.2.3.4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 2.2.3.4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 2.2.3.4.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 2.2.3.4.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 2.2.3.4.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 2.2.3.4.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.2.3.4.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 2.2.3.4.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 2.2.3.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.3.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 2.2.3.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 2.2.3.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 2.2.3.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.2.3.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.2.3.6

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.6.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.2.3.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.2.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x^{4} + 27)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{4} + 27 > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Resta $27$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{4} > - 27$

Paso 3.2.2

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 3.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $324$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 5.2.1.5

Suma $- 186624$ y $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $1296$ y $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $1323$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 174960$ y $1750329$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $729$ de $- 174960$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $729$ de $1750329$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 3, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $324$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Suma $- 256$ y $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $16$ y $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $43$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 3, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positiva.

Convexo en $(- 3, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $324$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Suma $- 256$ y $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $16$ y $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $43$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, 3)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

Sustituye cualquier número del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $324$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Suma $- 186624$ y $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $1296$ y $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $1323$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Paso 8.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común de $- 174960$ y $1750329$ .

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Paso 8.2.3.1.1

Factoriza $729$ de $- 174960$ .

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Paso 8.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1.2.1

Factoriza $729$ de $1750329$ .

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Paso 8.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Paso 8.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

Paso 8.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Paso 8.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ es negativa.

Cóncavo en $(3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 3, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(0, 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 10