Álgebra Ejemplos

$\ln (x^{2} + 9)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{2} + 9)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{2} + 9)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.1.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.1.1.2.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x + 0)$

Paso 2.1.1.2.4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 9} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} + 9}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 9} x$

Paso 2.1.1.2.4.3

Combina $\frac{2}{x^{2} + 9}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 9}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $x^{2} + 9$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.9

Combina $2$ y $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.2.10.2.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 2 x^{2} + 18 = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Resta $18$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 18$

Paso 2.2.3.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 18$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 18$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Paso 2.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Paso 2.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Paso 2.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.3.1

Divide $- 18$ por $- 2$ .

$x^{2} = 9$

Paso 2.2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 2.2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.2.3.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 2.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 2.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 2.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \ln (x^{2} + 9)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x^{2} + 9)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 9 > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} > - 9$

Paso 3.2.2

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 3.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 18}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $- 72$ y $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{({(- 6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $36$ y $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $45$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 54}{2025}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $2025$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $27$ de $- 54$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $27$ de $2025$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{- 2}{75}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 6) = - \frac{2}{75}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 3, 3)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $0$ y $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0) = \frac{18}{81}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $18$ y $81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{81}$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $81$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{2}{9}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 3, 3)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 3, 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(3, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 18}{{({(6)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 18}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Suma $- 72$ y $18$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(6^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{{(36 + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $36$ y $9$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{45^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $45$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 54}{2025}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $2025$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.1

Factoriza $27$ de $- 54$ .

$f'' (6) = \frac{27 (- 2)}{2025}$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1.2.1

Factoriza $27$ de $2025$ .

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot - 2}{27 \cdot 75}$

Paso 7.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{- 2}{75}$

Paso 7.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (6) = - \frac{2}{75}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{2}{75}$ .

$- \frac{2}{75}$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(3, \infty)$ porque $f'' (6)$ es negativa.

Cóncavo en $(3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 3)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 3, 3)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(3, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9