Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2} \div \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x^{2} + 5 x - 2}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, 1$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x^{2} + 5 x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$3 x^{2} + 5 (x) - 2 = 0$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$3 x^{2} + (- 1 + 6) x - 2 = 0$

Paso 4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 1 x + 6 x - 2 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 1 x) + 6 x - 2 = 0$

Paso 4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1) = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 4.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.3

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 4.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 4.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, - 2$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2} \div \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x^{2} + 5 x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x^{2} + 5 x - 2} = 0$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{2} + 7 x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$3 x^{2} + 7 (x) + 2 = 0$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe $7$ como $1$ más $6$

$3 x^{2} + (1 + 6) x + 2 = 0$

Paso 6.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 1 x + 6 x + 2 = 0$

Paso 6.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{2} + x + 6 x + 2 = 0$

Paso 6.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + x) + 6 x + 2 = 0$

Paso 6.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 1) + 2 (3 x + 1) = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x + 2) = 0$

Paso 6.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 6.2.3

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.3.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 6.2.3.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 6.2.3.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.2.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 6.2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, - 2$

Paso 6.3

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{3 x^{2} + 5 x - 2} = 0$ sea verdadera.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 7

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = - \frac{1}{3}, x = \frac{1}{3}, x = 1, x = 2$

Paso 8